正比例“变身”记
——《成正比例的量》课堂实录
一、课前交流：
师：读一读大屏幕上这个成语，说一说“水涨船高”是什么意思？
生：船总是浮在水面上，水面升高，船也跟着就升高了。
师：他解释得非常生动形象，我们今天这节数学课要研究的问题就和这个成语有密切的关系，请接着往下看（出示例1）
【反思】让数学课变得和语文课一样生动美丽，是我所期望的，然而受困于数学学科的特征，我一直没能找到什么合适的方法，不过，抓住机会，让数学课与语文课进行有机融合，我还是不会错失良机的。正比例，讲的是一种量扩大或缩小，另一种量随之扩大或缩小，这不正是“水涨船高”的表现吗？于是，我就用“水涨船高”这个成语当作了我今天的课题，并且贯穿始终，感觉效果非常好。
二、观察与思考：
（一）分析例1
1、出示例1
一种笔记本的单价是5元/本，请填写下表：
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单价(元) |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
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数量(本) |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
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总价(元) |
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2、学生读题、老师指名学生口算，完成填表。
师：观察表格中数据，你发现了什么？
生，总价随着数量的变化而变化，数量扩大，总价也随着扩大。
师：数量扩大，总价就随着扩大，说明总价和数量是两种相关联的量（多媒体出示这句话）。
师：数量扩大，总价就随着扩大，是不是“水涨船高”？
生：是。
师：总价为什么随着数量的扩大而扩大呢？根本原因是什么？
生：……
师：总价、数量和单价之间的关系，大家会不会写出来？
生：单价×数量=总价，总价÷数量=单价，总价÷单价=数量。
师：我们选其中一种，用比的形式表示出来：用 ＝单价（一定），单价是总价和数量的比值，单价不变，就是比值不变，想一想，什么情况下，比值不变。
生：比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比值不变。
师：说得好，这叫什么？
生：比的基本性质。
师：同时乘叫扩大，同时除以叫缩小，所以，要想比值不变，一种量扩大，另一种也必须随之扩大。
师：这个例子告诉我们，两种相关联的量，如果它们的比值一定，那么一种数量扩大，另一种数量就会随着扩大。我们把这两种量叫做成正比例的量，它们的关系就叫做成正比例关系。简单说：单价一定，总价和数量成正比例（多媒体出示）。
【反思】这个例题是我自编的，之所以没有采用课本的例题，是因为我想让学生感受“水涨船高”这一变化的现象，而课本例题是给给出两种变化的量，让学生找不变量，不太符合我的构思，并且课本例题用的是杯子的底面积不变，水的体积和水的高度成正比例关系，没有“单价一定，数量和总价成正比例”这样的语言精练，易于表述。
（二）分析例2
1、出示例2
一列火车行驶的时间和所行路程如下表：
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时间（时） |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
… |
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路程（千米） |
90 |
180 |
270 |
360 |
450 |
540 |
… |
2、分析
师：观察表格，这里介绍了哪几种数量？它们是不是成正比例关系？为什么？
生：路程和时间成正比例。因为，它们的比值一定。
师：路程和时间是两种相关联的量，因为路程：时间=速度（一定），所以路程和时间成正比例关系（多媒体出示）
学生齐读（规范语言）。
【反思】这个例题也是我自编的，类型有点与课本例题相似，让学生在变化中求不变，体会“比值一定时，两种量就成正比例关系”。这也为学生自学例题奠定了基础。
三、归纳与总结：
师：今天我们研究的“水涨船高”的数学问题叫什么？
生：正比例（板书课题：正比例）
师：什么叫做正比例？
生：……
师：两种相关联的量，一种数量扩大，另一种数量随之扩大。如果它们的比值一定，我们就把这两种量叫做成正比例的量，它们的关系就叫做成正比例关系。例如：单价一定，总价和数量成正比例；速度一定，路程和时间成正比例（多媒体出示）
师：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），我们可以把正比例关系表示为：用 ＝k（一定）。
【反思】板书课题是必须的，这个时候板书恰到好处，虽然“水涨船高”被我当作了课题，但真正的学习内容是正比例，这是不能含糊的。这里，教师讲述得比较多，是考虑到这科学规范的语言，学生是不容易概括出来的，由老师讲解，只是为了给学生一个完整的、清晰的概念！
四、拓展与延伸：
师：同学们会画折线统计图吗？请大家拿出老师下发的方格图，用“描点连线”的方法，把例1里总价和数量的关系（多媒体出示例1表格）在图中表示出来。
学生独立活动。
师：图画完后，你发现了什么？
生：画出来的是一条斜线。
师：也是什么线？
生：直线。
师：不用计算，请在图中标出（1）买25本要用多少钱？（2）275元可以买多少本？
生，25本125元，225元买45本。
师：你是怎么找到的？
学生上台讲解。
师：计算验证一下。
生：25乘5等于125，225除以5等于45。
【反思】让学生自己用画折线图的方法表示正比例函数，是为了让学生自己发现正比例函数的图像就是一条直线，也是为了让学生建立初步的函数思想。
五、巩固与提高：
师：阅读课本P39—40内容，完成填表并思考：
（1）体积与高是否成正比例？为什么？
（2）例2中，杯中水的高是7厘米时，水的体积是多少？225立方厘米的水有多高？（在图中标出来）
生：……
【反思】让学生自学课本，一是为了培养学生的阅读能力，和自学意识，第二是为让学生加深对正比例的理解和认识，尤其是，正比例画出的图像就是一条直线，例用，这个图像，不用计算就可以找到一些有用的信息。
师：每袋面粉的重量一定，面粉的总重量和袋数是不是成正比例？
生：……
师；小新跳高的高度和他的身高是否成正比例？
生：小新跳高的高度和他的身高不成正比例。
师，为什么。
生：小新的身高和他跳的高度没有必然的关系。
师：对，判断两种量是否成正比例，先要看它们是不是相关联的量。
师：正方形的周长和边长是否成正比例？
生：成比例。
师：怎么判断？
生：正方形周长：边长达=4。4 是一定的，所以……
师：判断两种量是否成正比例，一定要写关系式，然后看它们是不是比值一定。
师、正方形的面积和边长是否成正比例。
指导学生填写下表：
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面积 |
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边长 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
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比值 |
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生：面积：边长=边长（不一定），正方形面积和边长不成正比例。
师：为什么？
生：它们的比值不一定。
师：对，看表格：边长扩大，面积也在扩大，这也是“水涨船高”，但他们的关系为什么不成正比例？
生：判断两种量是否成正比例，关键还要看它们的比值是不是一定！
【反思】这个环节设计的练习层层递进，让学生在巩固的基础上，学会了明辨是非，加深了对正比例的认识，同时，也让学生明确：“水涨船高“也未必就是正比例，判断两种量是否成正比例，关键还要看它们的比值是否一定。这也是在扣题——“水涨船高”。
六、回顾与展望：
师：判定两种量是否成正比例关系的方法与步骤是什么？
生：先写数量关系式，然后判断它们是不是比值一定。
师；这是判断两种量是否成正比例的关键。还有吗？
生：先判断它们是不是相关联的量。
师：怎么判断？
生：是不是一种量变化，另一种量也随之变化。
师：说得很好。
师：生活中还有哪些量成正比例关系？
生：……
【反思】这个环节让学生对判断两种是否成正比例的方法与步骤进行了概括与总结，使学生学会了梳理课堂所学，提高了认识。
课后反思：
这又是一节令我“沾沾自喜”的比较成功的课例，我的成功之处在于以下几点：
一、把“水涨船高”这个成语当作数学课的课题，让数学蒙上了一层神秘的面纱，激发了学生学习的兴趣和探究新知的欲望；围绕“水涨船高”展开学习，让学生体会了成正比例的两种的量的变化关系就是一种“水涨船高”的现象，使学生有了比较形象的认识；最后用“正方形的面积和边长”也是“水涨船高”的关系，但它们不成正比例，让学生深刻地认识到，判断两种量是否成正比例，关键还要看“比值是否一定”，这样就把握住了成正比例的两种量的本质属性——比值一定。这也是本节课最成功的一个方面。
二、改编例题也是我自认为比较得意的一个大手笔。这里，我用了两道例题，例1是让学生在“不变中看变化“，例2是让学生在”变化中求不变“。两道例题的有机结合，让学生对”成正比例的量“有了一个非常清晰的认识。
例1，我先给出一个表格，给出笔记本的单价是5元，让学生根据表格中数量，填总价，使学生在填表的过程中，初步体会“单价一定，数量变化，总价也跟着变化，说明数量和总价是两种相关联的量，而且它们的变化关系是”一种量扩大或缩小，另一种量也随之扩大或缩小，这就是一种”水涨船高“的关系，然后联系“比的基本性质”分析数量和总价为什么会是“水涨船高”的关系，最后得出结论：“两种相关联的量，一种量扩大或缩小，另一种量跟着扩大或缩小，如果它们的比值一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫正比例关系“。
例2，我给出一个表格，是关于一辆汽车行驶的时间和路程的，然后让学生判断，路程和时间是否成正比例，学生根据例1获得的经验，很快就开始找路程和时间的比值，最后得出，路程和时间成正比例，因为，它们的比值——速度是一定的。
至此，学生对《成正比例的量》已经有了较为深刻的认识。
三、联系折线统计图，画正比例函数的图像，也是本节课的一个亮点。画折线统计图是学生已有的知识经验，让学生用折线统计图画出例1中数量与总价的的关系，让学生自己发现，正比例函数图像就是一条直线，这比给出现成的图像，让学生观察更真实，更有价值。在此基础上，又让学生自学课本，与课本例题进行比较，更加深了学生对正比例函数的认识。
四、梯度练习，层层递进，使学习更有效。这节课的练习设计也很精心，先让学生看课本例1，巩固对正比例的认识；然后，让给出学生一些典型练习，让学生判断两种量是否正比例：比如：（1）小新跳的高度和他的身高；（2）正方形的周长和边长；（3）正方形的面积和边长等；这三道练习不仅是为了巩固所学知识，也是在帮助学生理清思路，归纳概括判断两种量是否成比例的方法与步骤，很具代表性。事实证明，这些练习也确实发挥他们应有的价值！
总之，让语文为数学增添点情趣，把新旧知识巧妙串联，让学生能透过表象抓住本质，使学生能牢固把握知识的关键，让清晰的概念深深地印入学生的脑海，这样的课必定是有效的课，也必定是成功的课！
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