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河南渑池县笃忠小学杨富民小学数学室

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“变教为学”需要珍惜学生提出的问题 郜舒竹  

2015-02-20 18:25:59|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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“变教为学”需要珍惜学生提出的问题

“变教为学”需要珍惜学生提出的问题       郜舒竹 - yfm小学数学工作室 - 河南渑池县笃忠小学杨富民小学数学室

编者按

在“变教为学”的课堂教学实践中,学生的积极性被充分调动起来后,就会生成各式各样的问题。这些问题的答案往往超出教师的知识范围,也就是教师难以回答的问题。教学中面对学生的问题,切忌急于回答。有效的应对方式是首先鼓励学生,而后记录下来,与学生共同思考研究。把学生课堂中生成的问题作为教师教学的资源。

在“变教为学”的教学实践中,经常会有学生提出各式各样的问题。有些问题表面看与本节课的数学内容无关,因此常常被教师认为是“没有意义的问题”而被忽略。事实上,应当相信学生提出的任何问题都是因为头脑中思考的某种不顺畅而导致的,这样的问题不仅应当被视为是合理的,而且应当成为教学研究的素材。

比如数学运算中的“加”与“减”,在数学中表达运算过程的含义与日常用语的含义基本是一致的,但对于乘法运算中的“乘”,学生熟悉的含义可能是“乘车”“乘风破浪”等等,而在数学中表达的是“相同加数求和”,这两个含义似乎风马牛不相及。这时自然就会产生“为什么用‘乘’表示相同加数求和呢?”这样的问题。诸如此类的问题表面看与数学计算无关,但其中蕴含着丰富的历史、语言文字方面的知识,都体现了数学知识的文化特征。比如考察“乘”的历史演变,可以发现其最初的含义是“人在树上”,有“升高”的意思。这个意思就与乘法所说的“相同加数求和”可以沟通联系了。因此这样的问题不仅不应当忽略,而且应当融入到数学的教学过程中。下面通过对一些学生提出的问题的研究,进一步说明这一点。

一、“几何”与“方程”究竟何义?

“几何”一词是明代学者徐光启(1562—1633)在与意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci,1552—1610)合作翻译古希腊欧几里得的《原本》的时候首次使用的。关于徐光启选用这个词的原因,经过考证主要有两种观点,第一种认为是在翻译《原本》中“Geometry”这一英文单词时考虑了两方面因素,其一是这个词汇具有“测量地球”的意思,而测量的过程实际上就是想知道“多少”的问题,古汉语中“多少”通常用“几何”这个词汇来表达,这是意译;其二是英文单词的前缀“Geo”的发音接近汉字“几”的发音,所以“几何”是意译和音译兼容的翻译。[1]另一种观点认为“几何”是对“Magnitude”这一英文单词的意译。[2]“Magnitude”是“量”的意思,而研究量其实关心的就是“多少”,所以用“几何”。两种观点的共同之处就是“几何”与测量以及数量的多少直接相关。姑且不论哪一种观点是正确的,这些内容起码包含了语言及其文化方面的知识,这些知识对于数学学习都是很重要的。

“方程”这一数学术语与“几何”不同,并非外来语的翻译,而是由我国古人命名并沿用至今的。由于时间久远,其一般意义与数学意义的联系已经不明显了。就是说从“方程”的字面上很难联想出其“含有未知数的等式”这一数学意义。在古汉语中“程”最初是一种度量单位,后来引申有度量的意思。比如,“程者,权衡丈尺斛斗之平法”[3]的说法,就把“程”理解为各种不同大小的计量工具之间如何平衡(其实就是互相转化)的方法。这样的理解在许多词汇中都有所体现,比如“路程”就是度量所走路的结果。按迄今的考证,“方程”一词在我国数学文献中使用最早的是《九章算术》第八章。刘徽在其注释本中对方程的解释为:“群物总杂,各列有数,总言其实,另每行为率,二物者再程,三物者三程,皆如物数程之,并列为行,故谓之方程。”[4]这句话的大意是说,多个未知数的时候,就需要分别排列出来共同考虑。两个未知数排两行,三个未知数排三行,有几个未知数就排几行,有行有列,所以叫作方程。其中“方”指的是排列出来的形状,“程”就是度量方法的意思。这实际上就是现在数学中的线性方程组。在《九章算术·音义》中对“方程”的解释为:“方者,左右也。程者,课率也。左右课率,总统群物,故曰方程。”[5]这句话的意思是说给未知量配上相应的系数,使得左右相等就是方程。其中的“方”是左右,“课率”用现在的语言说就是配上系数。 这样的解释与现在所说的“含有未知数的等式”十分接近。

二、加法的结果为什么是“和”,而不是“合”?

数学术语是前人命名或者翻译,经过长时间历史沿革沿用至今的。由于文字本身含义的逐步变迁,原始的含义发生了变化。比如,为什么加法的结果用“和”而不是“合”?按照一般的理解,似乎“合”更为恰当。按照何金松所著《汉字文化解读》的解释,[6] “和”最初的意思是树上的小鸟此唱彼和的场景,后来引申为很多人演唱或演奏时乐音的谐和,所谓乐音的谐和是多种声音听起来就像一个声音。由此可以推断“和”是“两个或多个在一起就像一个”的意思。比如日常生活中所说的“和面(音:huó miàn)”,其意义就是面粉和水融为一体。中国传统的娱乐项目“打麻将”中的“和牌(音:hú pái)”是把零散的牌融为一个互相关联的整体。这显然与数学中加法的意思相吻合。而“合”字起初的意思是“关闭”,后来引申为“聚集”,才有了现在联合的意思。

三、为什么一定要把“6÷2”读作“6除以2”?

按照《现代汉语词典》的解释,“除”字的一般意义有“去掉”或“减少”的意思,又可以引申为“分”的意思。[7]如果把除法运算理解为“逐步减少”,就与乘法的“逐渐升高”相对应为互逆关系,也就是数学中所说的“互逆运算”了。至于为什么要把“6÷2”读作“6除以2”,或“2除6”,而不能读作“6除2”,其实是古汉语中倒装的习惯,所谓“6除以2”,用现在习惯的读法应当是“以2除6”。“2除6”实际上是省略了“以”,也是“以2除6”,都是用2去分6的意思。类似的例子还有分数的读法,读作“三分之二”实际上是“分三之二”,“之”在古汉语中有“的”意思,所以“分三之二”就是“分为三份中的两份”,与分数的意义基本上是一致的。

类似的问题还有,除法的结果为什么叫作“商”?一般意义下这个字往往与“商量”“经商”这些用语的意思联系在一起。我国古代有一种计时仪器,叫作漏壶,也叫作漏刻。壶内有一浮标部件,上面刻有刻度,随水浮沉,称为漏箭。人们只需察看漏箭外表所显露的刻度,便可掌握壶内水位的高低,从而知道当下的时辰。我国古代字书《正字通·口部》对“商”有这样的解释:“商乃漏箭所刻之处”。[8]由此看出,“商”在古代表示计时工具漏刻中的刻度。刻度实际上就是确定标准,也就是指明“一”,以便于测量“几”。所谓“商量”,其实就是先确定“商”,然后“量(音:liáng)”。小学数学中整数的“等分除法”实际上就是“已知几倍是多少,求一倍”。这样就沟通了“商”的一般意义与数学意义之间的联系。

四、“小数”是很小的数吗?

“小数”并不是指很小的数。在十三经之一的《礼记·内则第十二》中有这样的记载:“亿之数有大小二法,其小数以十为等,十万为亿,十亿为兆也。其大数以万为等,万至万,是万万为亿,又从亿而数至万亿曰兆。”[9]大意是说,有大小两种方法得到“亿”和“兆”,一种是用小数十,那么十万就是亿,十亿就是兆。另一种是用大数万,那么万万就是亿,万亿就是兆。这里的“小数”和“大数”指的都是我们现在所说的进率。因此,“小数”实际上是“小率”,也就是“进率小于1”的数。在十进制的小数体系中,这个进率就是。

五、“正比例”和“反比例”是比例吗?

“正比例”和“反比例”分别用“正”和“反”来限定“比例”。那么正比例和反比例是不是比例?首先来看“比例”的含义,这个词汇并不是用“比”限定“例”。《说文解字·人部》对“例”字的解释为:“例,比也”,[10]这说明“比例”实际上是两个字义相同的字组合而成的,隐喻的数学意义是“两个比相同”。所以“比例”这个数学术语指称的数学对象是两个比的相等关系,比如“1:2=2:4”就是一个比例。这种比例在19世纪的欧洲叫作“几何比例(Geometrical Proportion)”。当时,还有一种比例叫作“算术比例(Arithmetical Proportion)”,[11]表达的是两个“差”相等的关系,比如“19-7=127-115”就是一个算术比例。算术比例的一个重要性质就是,如果把符合算术比例的四个数按顺序写出来:19,7,127,115。那么首尾两个数的和与中间两个数的和相等,也就是19+115=7+127这个性质与几何比例中“内项积等于外项积”的性质非常类似。正比例和反比例与比例是不是属种关系?也就是说正比例和反比例是不是特殊的比例?数学教科书中把“正比例”定义为两个量的比值是固定不变的数,则称这两个量成正比例;如果两个量的乘积为固定不变的数,那么这两个量成反比例。从定义来看,正比例和反比例这两个数学术语所指称的数学对象是“两个量之间的关系”,而不是两个“比”之间的关系。因此应当说正比例和反比例都不是比例。“正”与“反”对比例的限定,使得比例这一数学术语的语义发生了变化。尽管如此,正比例、反比例和比例还是有着密切关系的。

古时算术中正比例和反比例的含义与现在不同。首先有“正比”和“反比”的概念,如果把“a:b”视为正比,那么“b:a”或者“:”就是反比。这里反比中的“反”相对于“正”有两种含义,第一种是比的前项和后项交换位置,比如把正比“a:b”改为“b:a”变为反比,这种反比对应的英文是“Inverse Ratio”;第二种是对比的前项和后项取倒数,顺序不变。比如把正比“a:b”改为“:”也成为反比,对应的英文是“Reciprocal Ratio”。一个非常有趣的性质是,如果对一个正比分别按以上两种方式连续取反比,比值是不变的,用符号表示就是:

a:b=:

这样就可以延伸出当时正比例和反比例的概念。如果把“a:b=c:d”叫作正比例,那么就把“a:b=:”叫作反比例。英文中“反比例”有两种说法,一种是“Inverse Proportion”,另一种是“Reciprocal Proportion”。其中前者是比例的前项和后项交换位置的意思,后者是取倒数的意思。在晚清时期的一本《师范讲习社师范讲义》中还可以看到下面的例证。[12](见图1)

图1 晚清师范讲义图

(当时连接两个比不用现在的等号“=”,而是四个点“::”)

由此看出,正比例和反比例起初是一对相关的概念。之所以有正比例的用语,是因为存在与它比值相等的反比例。无论是正比例还是反比例,都是特殊的比例,与现在的意义不一样了。

六、“函数”是数吗?

“函数”一词,表面看是用“函”限定“数”。但其数学意义并不是指称数,也不是对数的限定。这一词汇是清代学者李善兰(1811-1882)在1859年翻译Augustus Demorgan所著的《代数学原理》(The Elements of Algebra)一书时,首次使用的数学术语。原书中“Function”一词的解释为:“以任何方式包含x的表达式都是x的函数,所以和都是x的函数。(Any expression which contains x in any way is called a function of x. Thus, andare functions of x.)”[13]。李善兰把 “Function”翻译为“函数”,解释为“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数。”[14]这一解释更接近李善兰翻译的另一本名为《代微积拾级》(Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus)的书中对“Function”的定义:“当一个变量等于一个包含另一个变量的表达式的时候,第一个变量就叫作第二个变量的函数。(One variable is said to be a function of another variable, when the first is equal to a certain algebraic expression containing the second.)”[15]综上可以看出,李善兰用“函数”这个词汇的用意,其中的“数”是“变数”,也就是现在所说的“变量”,而“函”是包含的意思。二者组合在一起叫作“函数”,表达的就是“变量包含变量”的关系,比如“a+x”是一个变量,包含着变量“x”,那么“a+x”就是 “x”的函数。所以“函数”指称的不是数,而是变量之间的包含关系,与当时人们对“函数”的认识是吻合的。现在数学中对函数的理解事实上已经发生了变化,是集合与集合之间的“对应”关系,而不仅仅是变量之间的“包含”关系。


按照通常的认识,数学属于科学,强调真理性和逻辑性。而语文属于人文学科,更强调“人”的因素。人文学科的知识一般具有规定性和可变性的特征。所谓规定性,体现的是人的主观意志占主导地位,一旦为多数人所认可,就成为约定俗成的知识了。所谓可变性,指的是随着人们对事物认识的不断变化,这种约定俗成的知识也会发生变化。比如前面论及的“几何”这一词汇,在如今的数学课程标准中就变成了“空间与图形”。现在所使用的“质数”,过去曾经是“数根”。莫绍揆先生曾经建议分数的读法应当改变,[16]比如应当读作“五分以六”,这样更符合人自左至右、自上而下的阅读习惯,而且与除法算式的读法相一致。

应当相信,学生学习过程中所产生的问题都是有价值的,而且是有意义的,这些问题的研究应当成为新的课程资源的源泉。因此在“变教为学”的教学中,教师应当鼓励任何学生提出任何问题,珍惜任何学生提出的任何问题,认真研究任何学生提出的任何问题。

参考文献:

[1] 松村勇夫. 关于代数和几何的字源[J]. 数学通报,1951.1.

[2] 杰. 几何不是Geo的译音[J]. 数学通报,1959.1.

[3] 司马迁.史记·卷一百三十[M](集解引如淳语).北京:中华书局,1999:2508.

[4] 杜石然. 《九章算术》中关于“方程”解法的成就[J]. 数学通报,1956.12.

[5] 李继闵. 《九章算术》导读与译注[M]. 陕西:陕西科学技术出版社,1998:624.

[6] 何金松. 汉字文化解读[M]. 湖北:湖北人民出版社,2004:391-369.

[7] 中国社会科学院语言研究所. 现代汉语词典[M]. 北京:商务印书馆,1978:187.

[8] 邵启昌. 中国数学若干概念汉语词义研究[J].四川师范学院学报( 自然科学版) ,1998.6.

[9] 郑玄注、孔颖达疏.礼记正义[M].北京:北京大学出版社,1999:828.

[10] 许慎.说文解字[M].北京:中华书局,1963:167.

[11] Augustus De Morgan. Elements of Arithmetic[M]. Fourth Edition. Printed for Taylor and Walton, London. 1839:99.

[12] 晚清文献数据库. http://www.cnbksy.com/ShanghaiLibrary/pages/jsp/fm/index/index.jsp.

[13] Augustus De Morgan. The Elements of Algebra[M]. Second Edition. Printed for Taylor and Walton, London. 1837:168.

[14] 燕学敏. 晚清数学翻译的特点——以李善兰、华蘅芳译书为例[J]. 内蒙古大学学报(自然科学版),2006.5.

[15] Elias Loomis. Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus[M]. Nineteen Edition. Harper & Brothers Publishers, New York. 1865:113.

[16] 莫绍揆. 试论初等数学符号的改进[J]. 数学通报, 2000.12.

(首都师范大学初等教育学院  100048)

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